Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与＝（3，－1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且（），证明为定值．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）设椭圆方程为，直线AB：y=x－c，
联立消去y可得：，
令A()，B ()，
则，，
向量=(，), 与向量＝（3，－1）共线，
所以3（）+（）=0，
即3（－2c）+（）=0，
4（）－6c=0，
化简得：，
所以离心率为=。
（2）椭圆即： ①
设向量=(x，y)，=()，=()
(x，y)=λ()+μ()
即：x=，y= 
M在椭圆上，把坐标代入椭圆方程① 得 ②
直线AB的方程与椭圆方程联立得，由（1）
已证，所以
所以=，=，
而A，B在椭圆上 ， 
全部代入②整理可得 为定值。
点评：典型题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，通过联立方程组得到一元二次方程，应用韦达定理可实现整体代换，简化解题过程。