题目内容

5.已知向量$\overrightarrow{a}$=($\sqrt{3}$sinx,cosx),$\overrightarrow{b}$=(cosx,cosx).函数f(x)=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1$.
(1)求f(x)的对称轴.
(2)当$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$时,求f(x)的最大值及对应的x值.

分析 (1)利用数量积公式求出f(x),然后利用三角函数的倍角公式化简,令复合角为k$π+\frac{π}{2}$,求出x;
(2)利用(1),判断复合角的范围,结合正弦函数的有界性求最值.

解答 解:(1)由已知得到f(x)=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1$=2($\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x)-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin(2x+\frac{π}{6})$….4
令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,
解得$f(x)的对称轴为x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},k∈z$.…7
(2)由(1)得$f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})$
∵$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6},\frac{7π}{6}}]$,…9
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时,即$x=\frac{π}{6}$时f(x)的最大值为2.…12

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的化简和性质;正确化简三角函数式是解答的关键.

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