题目内容

(本小题满分14分)正△的边长为4,边上的高,分别是
边的中点,现将△沿翻折成直二面角
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.
 
解:法一:(I)如图:在△ABC中,由EF分别是ACBC中点,得EF//AB

AB平面DEFEF平面DEF.    ∴AB∥平面DEF.   
(II)∵ADCDBDCD  
 ∴∠ADB是二面角ACDB的平面角
ADBD   ∴AD⊥平面BCD
CD的中点M,这时EMAD   ∴EM⊥平面BCD       MMNDF于点N,连结EN,则ENDF    ∴∠MNE是二面角EDFC的平面角…………6分
在RtEMN中,EM=1,MN=∴tan∠MNE=,cos∠MNE=   ………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE……………………10分
证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD      ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为

…………………12分
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE       …………………………13分
另解:设
       …………………………12分

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE                           …………….14分 
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