题目内容
(本小题满分14分)正△的边长为4,是边上的高,分别是
和边的中点,现将△沿翻折成直二面角.
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.
和边的中点,现将△沿翻折成直二面角.
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.
解:法一:(I)如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF.
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
在Rt△EMN中,EM=1,MN=∴tan∠MNE=,cos∠MNE= ………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE……………………10分
证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
则 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为
设
…………………12分
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE …………………………13分
另解:设
又 …………………………12分
把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE …………….14分
又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF.
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
在Rt△EMN中,EM=1,MN=∴tan∠MNE=,cos∠MNE= ………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE……………………10分
证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
则 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为
设
…………………12分
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE …………………………13分
另解:设
又 …………………………12分
把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE …………….14分
略
练习册系列答案
相关题目