Question

8．已知函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），且f（x）的两个相邻极大值点的距离为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）=f（x+$\frac{1}{3}$），求函数g（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）∵由题意结合周期公式可求ω的值，从而可得f（x）的解析式．
（2）由诱导公式可求g（x）=-sinπx，由x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，可得πx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵由题意可得函数f（x）的最小正周期为2，ω＞0，
∴$\frac{2π}{ω}$=2，解得ω=π．
∴f（x）的解析式为：f（x）=cos（πx+$\frac{π}{6}$），
（2）∵g（x）=f（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=cos[π（x+$\frac{1}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（πx+$\frac{π}{2}$）=-sinπx，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，可得πx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，由正弦函数的图象和性质可得：sinπx∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴可解得函数g（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]的最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大值为1．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的最值，考查了数形结合思想，属于基础题．