Question

16．已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围．
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）将方程配方为标准形式，然后分析表示圆的条件；
（2）由（1）得到m＜5，利用直线与圆相交得到的弦长，半径与弦心距的关系求m．

解答 解：（1）方程C可化为  （x-1）²+（y-2）²=5-m，
显然  5-m＞0时，即m＜5时方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m圆心C（1，2），半径$r=\sqrt{5-m}$，m＜5，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为$d=\frac{{|{1+2×2-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
∵MN=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，$\frac{1}{2}$MN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
有${r^2}={d^2}+{（\frac{1}{2}MN）^2}$，
∴5-m=$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$，得  m=4．满足m＜5，
所以m=4．

点评 本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系；属于基础题．