题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)当时,求函数
的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设函数,若对于
,
,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)y=﹣2.(2)单调递增区间为(1,2);单调递减区间为(0,1)和(2,+∞).(3).
【解析】
(1)将a=2代入,对其求导,可得
,
的值,可得f(x)在x=1处的切线方程;;
(2)将代入
,对其求导,由导数性质可得函数f(x)的单词区间;
(3)由(2)可得的最小值为
,又
,
分,
,
三种情况讨论,结合对
,
,使
成立,可得b的取值范围.
解:(1)将a=2代入函数,可得
可得:,
,
,
故曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=﹣2.
(2),
令可得1<x<2;
令可得0<x<1或x>2;
因此f(x)的单调递增区间为(1,2);
单调递减区间为(0,1)和(2,+∞).
(3)f(x)在(1,2)上单调递增,因此f(x)的最小值为f(1).
又g(x),
①当b<0时,g(x)在[0,1]上单调递增,则矛盾.
②当0≤b≤1时,,得
.
③当b>1时,,解得b>1.
因此,综上所述b的取值范围是.
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