题目内容
【题目】已知四棱锥的底面ABCD是菱形,平面ABCD,,,F,G分别为PD,BC中点,.
(Ⅰ)求证:平面PAB;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)求证:OP与AB不垂直.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)连接,,由已知结合三角形中位线定理可得平面,再由面面平行的判断可得平面平面,进而可得平面;
(Ⅱ)首先证明平面,而为的中点,然后利用等积法求三棱锥的体积;
(Ⅲ)直接利用反证法证明与不垂直.
(Ⅰ)如图,连接,
∵是中点,是中点,
∴,而平面,平面,
∴平面,
又∵是中点,是中点,
∴,而平面,平面,
∴平面,又
∴平面平面,即平面.
(Ⅱ)∵底面,
∴,又四边形为菱形,
∴,又,
∴平面,而为的中点,
∴.
(Ⅲ)假设,又,且,
∴平面,则,与矛盾,
∴假设错误,故与不垂直.
【题目】随着网络和智能手机的普及与快速发展,许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为:网搜答案可以起到拓展思路的作用,但是对多数学生来讲,容易产生依赖心理,对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况,某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查,并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各人进行抽样分析,得到如下样本频数分布表:
一周时间内进行网络搜题的频数区间 | 男生频数 | 女生频数 |
18 | 4 | |
10 | 8 | |
12 | 13 | |
6 | 15 | |
4 | 10 |
将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过次的行为视为“经常使用网络搜题”,不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.
(1)根据已有数据,完成下列列联表(单位:人)中数据的填写,并判断是否在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关?
经常使用网络搜题 | 偶尔或不用络搜题 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校所有参与调查的学生中,采用随机抽样的方法每次抽取一个人,抽取人,记经常使用网络搜题的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |