Question

【题目】在四棱柱中，底面为平行四边形，平面，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出，，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；

（2）利用二面角的定义得出二面角的平面角为，可求得，然后以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.

（1），平面，平面，

平面，，

又，，，，

，，，，

又，平面，平面，平面，

而平面，平面平面；

（2）由（1）所证，平面，

所以即为二面角的平面角，即，

而，所以．

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则、、、、，

所以，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，得，

设与平面所成角为，则．