题目内容
【题目】设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
（1）求
的解析式；
（2）证明：曲线
上任一点处的切线与直线
和直线
所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【答案】(1) 
；(2)证明见解析.
【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝
x－3，
当x＝2时，y＝
．
又f′(x)＝a＋
，
于是
，解得
故f(x)＝x－
．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋
)·(x－x0)，即y－(x0－
)＝(1＋
)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－
，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－ 
)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
|－
||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
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