题目内容
【题目】设函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线
和直线
所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】解:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,
当x=2时,y=.
又f′(x)=a+,
于是,解得
故f(x)=x-.
(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+
)·(x-x0),即y-(x0-
)=(1+
)(x-x0).
令x=0得,y=-,从而得切线与直线x=0,交点坐标为(0,-
).
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-
||2x0|=6.
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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