题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的零点;
(2)当,求函数
在
上的最大值;
(3)对于给定的正数a,有一个最大的正数,使
时,都有
,试求出这个正数
,并求它的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
.
【解析】
(1)根据函数零点的定义可解得;
(2)先对分
和
两种情况讨论,然后对
再分
和
两种情况讨论,结合二次函数可求得;
(3)因为时,
,故问题只需在给定的区间内
恒成立,再按照
和
两种情况分类讨论,即可得到结论.
(1)令,得
,
当时,方程化简为:
,
解得: (舍去)或
(舍),
当时,方程化简为:
,
解得:(舍去),或
,
∴.
(2)当时,因为
,所以
在
时取得最大值1;
当时,
,其对称轴为
,
若,即
时,
在
上的最大值为
,
若即
时,
在
上的最大值为
,
综上所述:函数在
上的最大值为
(3)∵当时,
,故问题只需在给定的区间内
恒成立,
由,分两种情况讨论:
当时,即
时,
是方程
的较小根
当时,即
时,
是方程
的较大根,
综上,且
.
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