题目内容
【题目】在直角坐标系中,
,动点
满足:以
为直径的圆与
轴相切.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
过点
且与
交于
两点,当
与
的面积之和取得最小值时,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)设点,圆心
,由圆与
轴相切于点
,得|
,结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为
;
(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时,方程为 ,可得
.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时,设方程为 联立直线方程与抛物线方程,可得关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系可得
再由 ,结合等号成立的条件求得
的值,进一步得到
值,则
与
的面积之和取得最小值时,直线
的方程可求
试题解析:
(1)设点,圆心
,
圆与轴相切于点
,则
,
所以,
又点为
的中点,所以
,
所以,整理得:
.
所以点的轨迹方程为:
.
(2)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,方程为:
,
易得.
(ⅱ)当直线的斜率存在时,设方程为:
,
,
,
由消去
并整理得:
,
所以,
,
所以
,
当且仅当时等号成立,又
,
所以,
或
,
,
所以,解得:
,
因为,所以当两个三角形的面积和最小时,
直线的方程为:
.
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练习册系列答案
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【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, 得到下表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中
)