题目内容
4.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的部分图象如图所示(Ⅰ)求函数f(x)的解析式
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其中a<c,f(A)=$\frac{1}{2}$,且a=$\sqrt{7}$,b=$\sqrt{3}$,求△ABC的面积.
分析 (Ⅰ)由图象可知T=4($\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$)=π,由周期公式可求ω,由2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ,又|φ|<$\frac{π}{2}$,可求得φ,从而可求函数f(x)的解析式.
(Ⅱ)由f(A)=$\frac{1}{2}$,可得sin(2A-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,结合a<c,A为锐角,可求A的值,由余弦定理可得c,由△ABC的面积公式即可得解.
解答 解:(Ⅰ)∵由图象可知,T=4($\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$)=π,
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2,
又x=$\frac{π}{3}$时,2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ,得φ=2kπ-$\frac{π}{6}$,(k∈Z)
又∵|φ|<$\frac{π}{2}$,
∴φ=-$\frac{π}{6}$,
∴f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)…6分
(Ⅱ)由f(A)=$\frac{1}{2}$,可得sin(2A-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,
∵a<c,
∴A为锐角,
∴2A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$,得A=$\frac{π}{6}$,
由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,可得:7=3+c2-2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$,即:c2-3c-4=0,
∵c>0,∴解得c=4.
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$…12分
点评 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识的应用,属于基本知识的考查.
A. | 1+i | B. | 1-i | C. | 1-2i | D. | -1+i |
A. | $\frac{π}{4}$ | B. | 1-$\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{8}$ | D. | 1-$\frac{π}{8}$ |
A. | -2 | B. | -1 | C. | 1 | D. | 2 |
A. | fp[f(0)]=f[fp(0)] | B. | fp[f(1)]=f[fp(1)] | C. | fp[fp(2)]=f[f(2)] | D. | fp[f(3)]=f[f(3)] |