Question

18．数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，则通项公式a_n=$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

Answer 1

分析 把已知递推式两边平方，可得数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项，以4为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，两边平方可得，$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=4$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}=1$，
则数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项，以4为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+4（n-1）=4n-3$，
则${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{4n-3}$，
∴${a}_{n}=\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．
故答案为：$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．