Question

【题目】某公司印制了一批文化衫，每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.

Answer 1

【答案】19

【解析】

的最小值为19.

当时，表1所示的答题情形不符合要求.

表1

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（1）

（2）

（3）

（4）

【注】表l中（1）、（2）、（3）、（4）为图案，为员工，、、分别表示红、黄、蓝三种颜色.

下面证明：当时，必存在两个人满足要求.

事实上，把所有人的文化衫的颜色和图案如上制成表格，若存在两个人的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同，则必存在一个矩形子表，这个子表四个角的方格中的字母（颜色）相同.

若对于某个颜色（以红色为例），设分到件红色文化衫.则当时（约定当时，），必存在四个角都是的矩形.这是因为，考虑每一列两个构成的“对子”，一共只有如表2所示的6种.当时，必有两列会出现相同的对子，从而，必有四个角都是的矩形.

表2

当时，任取其中19个人，他们的所有文化衫的颜色中，至少有一种颜色出现了不少于（次），不妨设为红色.

设其中分到（为非负整数）件红色文化衫.则.

由调整法易知，当取最小值时，对任意，有.

注意到，则在中有19个1和7个2时，取得最小值.

这表明，当时，必存在四个角都是同一个字母的矩形子表.

综上，所求的最小值为19.