Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，和是函数的两个不同零点，且，，求；

（Ⅱ）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）运用极值的定义进行分析和推证；（Ⅱ）借助题设条件运用导数的知识分类求解.

试题解析:

（Ⅰ），是函数的极值点，．

是函数的零点，得，由解得，．

，，

令，，得；

令得，所以在上单调递减；在上单调递增

故函数至多有两个零点，其中，，

因为，

，所以，故．

（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意，都存在，使得成立，则

在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，令，，，

在上单调递增，，

①当，即时，，即，在上单调递增，

，不符合题意．

②当，即时，，

若，则，所以在上恒成立，即恒成立，

在上单调递减，存在，使得，符合题意．

若，则，在上一定存在实数，使得，

在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，

存在，使得，符合题意．

综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立