题目内容
【题目】已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在3个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)对函数求导,比较导函数的两根大小,进而得到单调性;(2)通过函数表达式可得到函数有一个零点2,要使得有3个零点,即方程
有2个实数根,即
,令
对函数求导研究函数单调性,结合函数的图像得到参数范围.
(1)
因为,由
,得
或
.(i)当
时,
,
在和
上,
,
单调递增;
在上,
,
单调递减,
(ii)当时,
,在
上,
,
单调递增,
(iii)当时,
,
在和
上,
,
单调递增;
在上,
,
单调递减,
(2),
所以有一个零点
.要使得
有3个零点,即方程
有2个实数根,
又方程,令
,即函数
与
图像有两个交点,
令,得
的单调性如表:
|
|
| 1 |
|
|
| - | - | 0 | + | + |
| ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ | ↗ |
当时,
,又
,
的大致图像如图,
所以,要使得有3个零点,则实数
的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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