Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（1）设bn=an+1﹣2an ， 证明数列{bn}是等比数列（要指出首项、公比）；
（2）若cn=nbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Sn+1=4an+2，∴当n≥2时，Sn=4an﹣1+2，

两式相减得：an+1=4an﹣4an﹣1，

∴ ，

∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，

∴数列{bn}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；

（2）解：由（1）知 ，从而 ，

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn﹣1+cn=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，

2Tn=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，

两式相减得： = ，

∴ ．

【解析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，Sn=4an﹣1+2，与原递推式联立可得an+1=4an﹣4an﹣1 ， 然后利用定义证明数列{bn}是等比数列；（2）由数列{bn}的通项公式求出数列{cn}的通项公式，再由错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．