Question

7．设m∈R，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|-1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|-3＜x＜2}⊆P，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为P={x|-1＜x＜2}，所以方程mx²-（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为-1和2，根据根与系数的关系即可求出m的值；
（Ⅱ）不等式mx²-（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x-2）[mx-（m+1）]＞0，需要分类讨论，即得到不等式的解集；
（Ⅲ）依题意，当x∈（-3，2）时，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立，分类讨论即可求出m的范围．

解答 解：（I）因为P={x|-1＜x＜2}，
所以方程mx²-（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为-1和2．
将x=-1代入上述方程，得m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0，
解得m=$-\frac{1}{2}$．
（II）不等式mx²-（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x-2）[mx-（m+1）]＞0．
当m＞0时，方程m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0的两根为$\frac{m+1}{2}$和2．
①当$\frac{m+1}{m}$=2，即m=1时，解得x≠2．
②当$\frac{m+1}{m}$＞2，即0＜m＜1时，解得x＜2或x＞$\frac{m+1}{m}$．
③当$\frac{m+1}{m}$＜2，即m＞1时，解得x＜$\frac{m+1}{m}$或x＞2．
综上，当0＜m＜1时，P={x|x＜2或x＞$\frac{m+1}{m}$}；当m=1时，P={x|x∈R，且x≠2}；当m＞1时，P={x|x＜$\frac{m+1}{m}$或x＞2}．
（III）依题意，当x∈（-3，2）时，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立．
当m=0时，原不等式化为-x+2＞0，即P={x|x＜2}，适合题意．
当m＞0时，由（II）可得0＜m≤1时，适合题意．
当m＜0时，因为$\frac{m+1}{m}$=1+$\frac{1}{m}＜2$，所以P={x|$\frac{m+1}{m}$＜x＜2}．
此时必有$\frac{m+1}{m}$≤-3成立，解得$-\frac{1}{4}≤m＜0$．
综上，若{x|-3＜x＜2}⊆P，则m的取值范围是[$-\frac{1}{4}，1$]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论是关键，属于中档题．