Question

8．当x∈（1，2]时，不等式x²+mx+4＞0恒成立，则m的取值范围是m＞-4．

Answer 1

分析 ①构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈（1，2]．②讨论对称轴x=-$\frac{m}{2}$f（x）的单调性，③讨论判别式的符号，从而求出m的范围．

解答 解：根据题意，构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈（1，2]．
由于当x∈（1，2]时，不等式x²+mx+4＞0恒成立．
①△＜0即m²-16＜0时，不等式x²+mx+4＞0恒成立，解得：-4＜m＜4，
②△=0即m²-16=0，m=±4时，显然m=-4不合题意，m=4符合题意，
③△＞0时，只需$\left\{\begin{array}{l}{△{=m}^{2}-16＞0}\\{-\frac{m}{2}＜1}\\{f（1）=1+m+4≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△{=m}^{2}-16＞0}\\{-\frac{m}{2}＞2}\\{f（2）=4+2m+4＞0}\end{array}\right.$，解得：m＞4，
综上：m＞-4，
故答案为：m＞-4．

点评 本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题，是一道中档题．