Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2\sqrt{5}+3}$
• B． $\sqrt{2\sqrt{5}-3}$
• C． $\sqrt{5+2\sqrt{3}}$
• D． $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$

Answer 1

分析 过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，可得|BF₁|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．

解答 解：∵过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，
∴|BF₁|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得$\frac{y}{a}$=$\frac{c+x}{b}$=$\frac{2a}{c}$
∴x=$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，y=$\frac{2{a}^{2}}{c}$，
∴B（$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$）
代入双曲线方程，整理可得b=（$\sqrt{3}$+1）a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．