题目内容

【题目】如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在的平面,G为△AOC的重心.
(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;
(2)若PA=AB=2AC=2,求二面角A﹣OP﹣G的余弦值.

【答案】
(1)证明:如图,延长OG交AC于点M.

因为G为△AOC的重心,所以M为AC的中点.

因为O为AB的中点,所以OM∥BC.

因为AB是圆O的直径,所以BC⊥AC,所以OM⊥AC.

因为PA⊥平面ABC,OM平面ABC,所以PA⊥OM.

又PA平面PAC,AC平面PAC,PA∩AC=A,所以OM⊥平面PAC.

即OG⊥平面PAC,又OG平面OPG,

所以平面OPG⊥平面PAC


(2)解:以点C为原点, 方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz,

则C(0,0,0),

平面OPG即为平面OPM,设平面OPM的一个法向量

令z=1,得

过点C作CH⊥AB于点H,由PA⊥平面ABC,

易得CH⊥PA,又PA∩AB=A,所以CH⊥平面PAB,即CH为平面PAO的一个法向量.

在Rt△ABC中,由AB=2AC,得∠ABC=30°,则

所以

所以

设二面角A﹣OP﹣G的大小为θ,

即二面角A﹣OP﹣G的余弦值为


【解析】(1)延长OG交AC于点M.可得OM∥BC.由AB是圆O的直径,得OM⊥AC.由PA⊥平面ABC,可得OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC,证得平面OPG⊥平面PAC.(2)以点C为原点, 方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0), 利用向量法求解.
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直即可以解答此题.

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