题目内容

【题目】如图,梯形中,,将△沿对角线折起,设折起后点的位置为,使二面角为直二面角,给出下面四个命题:① ;②三棱锥的体积为;③平面;④平面平面;其中正确命题的个数是(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

BD中点O,根据面面垂直性质定理得平面,再根据线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理证得平面以及平面平面;利用锥体体积公式求三棱锥的体积,最后根据反证法说明不成立.

因为,所以为等腰直角三角形,

因为

所以,从而为等腰直角三角形,

BD中点O,连接,如图,

因为二面角为直二面角,所以平面平面

因为为等腰直角三角形,所以平面平面,平面,因此平面,所以三棱锥的体积为,②正确;

因为平面平面,所以,因为,平面,所以平面;即③正确;

因为平面平面;所以;由已知条件得,平面,因此平面,因为平面,所以平面平面;即④正确;

如果,而由平面平面,所以,因为,平面,所以平面;因为平面;即,矛盾,所以①不正确;

故选:C

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