题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).
(1)求f(x)的最小值;
(2)求证:x>0时,ex>x2﹣2x+1.
【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).得f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)=ex﹣2=0得,x=ln2,
当x>ln2时,f′(x)>0;当x<ln2时,f′(x)<0,
故当x=ln2时,f(x)有极小值也是最小值为f(ln2)=2(2﹣ln2)
(2)解:证明:设.(x>0),则g′(x)=ex﹣2x+2,
由(1)知g′(x)=ex﹣2x+2有最小值g′(ln2)=2(2﹣ln2),
于是对于x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上递增,
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即x>0时,ex>x2﹣2x+1
【解析】(1)求出函数的导数,求得单调区间,即可得到极小值,也为最小值;(2)构造函数g(x)=ex﹣x2+2x﹣1,通过导数求出g(x)的单调性,即可得到证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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