Question

【题目】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200πrh元， 底面积成本为160πr2元，
∴蓄水池的总建造成本为200πrh+160πr2元
即200πrh+160πr2=12000π
∴h= （300﹣4r2）
∴V（r）=πr2h=πr2 （300﹣4r2）= （300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5 ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）= （300r﹣4r3），（0＜r＜5 ）
可得V′（r）= （300﹣12r2），（0＜r＜5 ）
∵令V′（r）= （300﹣12r2）=0，则r=5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5 ）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大
【解析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．