Question

12．证明：方程x⁵+x-1=0只有一个正根．

Answer 1

分析 先证明方程x⁵+x-1=0在区间（0，1）内有唯一一个实数解，可先函数f（x）=x⁵+x-1在（0，1）内为单调函数，再结合根的存在性定理即可．

解答 证明：考查函数f（x）=x⁵+x-1，
∵f′（x）=5x⁴+1＞0，
∴函数f（x）=x⁵+x-1在（-∞，+∞）上是增函数，
又f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，
∴函数f（x）=x⁵+x-1在区间（0，1）有一个零点x₀．
∴方程x⁵+x-3=0在区间（0，1）内有唯一的实数解，
∴方程x⁵+x-1=0只有一个正根．

点评 本题考查根的存在性定理、用二分法求根，考查计算能力．