Question

10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
A．设A、B为两个定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），则动点P的轨迹为圆
C．0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1与C₂：$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的离心率相同
D．已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）和一动点P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），则点P的轨迹关于原点对称
其中真命题的序号为B．C．D（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 A．利用双曲线的定义判断正误即可；
B．定圆C和定点A具体化，利用向量间的关系求出点B和点P的坐标间的关系，再利用B在圆上就可求出动点P的轨迹，然后在下结论即可．
C．求出离心率，即可判断；
D．化简整理，即可分析其正误．

解答 解：A．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．故A错误，
B．设定圆C的方程为x²+y²=9，点A（3，0），B（a，b），点P（x，y），
则由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$得动点P为动弦AB的中点，所以有$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+3}{2}}\\{y=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2x-3}\\{b=2y}\end{array}\right.$
又因为点B在圆上所以有（2x-3）²+（2y）²=9，即（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，即动点P的轨迹为圆．故B正确，
C．若0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1中，a=cosθ，b=sinθ，c=1，则离心率为$\frac{c}{a}=\frac{1}{cosθ}$
C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1中，a=sinθ，b=sinθtanθ，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=tanθ，则离心率为$\frac{c}{a}$=$\frac{tanθ}{sinθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，则离心率相同，故C正确；

D．设P（x，y）为曲线|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上任意一点，
则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P′（-x，-y），
∵$\sqrt{（-x+1）^{2}+（-y）^{2}}$•$\sqrt{（-x-1）^{2}+（-y）^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上，
∴点P的轨迹曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）关于原点对称，故D正确，
故答案为：B．C．D

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的概念及应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．