Question

已知f(x)＝x³＋mx²－x＋2(m∈R)
如果函数的单调减区间恰为(－，1)，求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)的导函数为f '(x)，对任意x∈(0，＋∞)，不等式f '(x)≥2xlnx－1恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x²－x＋2
（2）m的取值范围是[ln2－ln3e，＋∞).

(1)f '(x)＝3x²＋2mx－1，
由题意，f '(x)＝3x²＋2mx－1＜0的解集是(－，1)，
即3x²＋2mx－1＝0的两根分别为－，1，将x＝1或－代入方程3x²＋2mx－1＝0得m＝－1，
∴f(x)＝x³－x²－x＋2，
(2)由题意知3x²＋2mx－1≥2xlnx－1在x∈(0，＋∞)恒成立，
即m≥lnx－x在x∈(0，＋∞)恒成立，
设h(x)＝lnx－x，则h'(x)＝－，
令h'(x)＝0得x＝，
当0＜x＜时，h'(x)＞0；当x＞时，h'(x)＜0，
∴当x＝时，h(x)取得最大值为ln－1＝ln2－ln3e，
表明m≥ln2－ln3e，
因此m的取值范围是[ln2－ln3e，＋∞).