题目内容
已知f(x)=x3+mx2-x+2(m∈R)
如果函数的单调减区间恰为(-
,1),求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)的导函数为f '(x),对任意x∈(0,+∞),不等式f '(x)≥2xlnx-1恒成立,求实数m的取值范围.
如果函数的单调减区间恰为(-

(2)若f(x)的导函数为f '(x),对任意x∈(0,+∞),不等式f '(x)≥2xlnx-1恒成立,求实数m的取值范围.
(1)f(x)=x3-x2-x+2
(2)m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).
(2)m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).
(1)f '(x)=3x2+2mx-1,
由题意,f '(x)=3x2+2mx-1<0的解集是(-
,1),
即3x2+2mx-1=0的两根分别为-
,1,将x=1或-
代入方程3x2+2mx-1=0得m=-1,
∴f(x)=x3-x2-x+2,
(2)由题意知3x2+2mx-1≥2xlnx-1在x∈(0,+∞)恒成立,
即m≥lnx-
x在x∈(0,+∞)恒成立,
设h(x)=lnx-
x,则h'(x)=
-
,
令h'(x)=0得x=
,
当0<x<
时,h'(x)>0;当x>
时,h'(x)<0,
∴当x=
时,h(x)取得最大值为ln
-1=ln2-ln3e,
表明m≥ln2-ln3e,
因此m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).
由题意,f '(x)=3x2+2mx-1<0的解集是(-

即3x2+2mx-1=0的两根分别为-


∴f(x)=x3-x2-x+2,
(2)由题意知3x2+2mx-1≥2xlnx-1在x∈(0,+∞)恒成立,
即m≥lnx-

设h(x)=lnx-



令h'(x)=0得x=

当0<x<


∴当x=


表明m≥ln2-ln3e,
因此m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).

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