Question

12．“a=-4”是“抛物线x²=ay（a＜0）的准线恰好与双曲线y²-x²=2的一条准线重合”的充要条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合抛物线的准线和双曲线的渐近线之间的关系进行判断即可．

解答 解：抛物线x²=ay（a＜0）的准线为y=$\frac{a}{4}$，
双曲线y²-x²=2即$\frac{{y}^{2}}{2}$$-\frac{{x}^{2}}{2}$=1，则a=b=$\sqrt{2}$，c=2，则准线方程为y=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±1，
若a=-4，则抛物线的准线为y=-1，与双曲线的渐近线y=-1重合，即充分性成立，
∵双曲线的准线方程为y=±1，
∴抛物线x²=ay（a＜0）的准线恰好与双曲线y²-x²=2的一条准线重合，
∴$\frac{a}{4}$=-1，解得a=-4，
故“a=-4”是“抛物线x²=ay（a＜0）的准线恰好与双曲线y²-x²=2的一条准线重合”的充要条件，
故答案为：充要

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据抛物线和双曲线的准线方程求出相应的准线是解决本题的关键．