Question

10．已知奇函数f（x）为定义域在R上的可导函数，f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求导，利用导数可以判断g（x）在（0，+∞）内单调递减；再由f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∵f（1）=0，∴g（1）=0
∴当x∈（0，1）时，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0，∴f（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜0．∴f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）＜0；
当x∈（-∞，-1）时，f（x）＞0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴x²f（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故选：B

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．