Question

7．已知函数f（x）的定义域（0，+∞），若y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A₁，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A₂
（1）已知函数f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈A₁且f（x）∉A₂，求实数h的取值范围
（2）已知f（x）∈A₂，且存在常数k，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）若f（x）∈A₁且f（x）∉A₂，即$g（x）=\frac{f（x）}{x}={x^2}-2hx-h$在（0，+∞）上为增函数，得到h≤0；继而根据F（x）的性质求的范围．
（2）先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，说明以f（x）=0在（0，+∞）上无解，继而得到所需结果．

解答 解：（1）若f（x）∈A₁且f（x）∉A₂，即$g（x）=\frac{f（x）}{x}={x^2}-2hx-h$在（0，+∞）上为增函数，
所以h≤0；而$F（x）=\frac{f（x）}{x^2}=x-\frac{h}{x}-2h$在（0，+∞）上不为增函数，
因为$F'（x）=1+\frac{h}{x^2}$，则h＜0，综上得h＜0；
（2）先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立，
假设存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
记$\frac{{f（{x_0}）}}{{{x_0}^2}}=m＞0$，因为f（x）∈A₂，
所以f（x）为“二阶比增函数”，即$\frac{f（x）}{x^2}$是增函数，
所以当x＞x₀＞0时，$\frac{f（x）}{x^2}＞\frac{{f（{x_0}）}}{{{x_0}^2}}$=m，
即f（x）＞mx²；
所以一定存在x₁＞x₀＞0，使得f（x₁）＞m$x_1^2$＞k成立，
这与f（x）＜k对任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）都成立；
再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，假设存在x₂＞0，使得f（x₂）=0；
∵f（x）为“二阶比增函数”，即$\frac{f（x）}{x^2}$是增函数，
∴一定存在x₃＞x₂＞0，使得$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_3}^2}}＞\frac{{f（{x_2}）}}{{{x_2}^2}}$=0成立，这与上述的证明结果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解，
综上所述，当f（x）∈A₂时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，
所以当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k，故k的最小值为0．

点评 本题主要考查导数在实际应用和新定义题目中的应用，思路较为复杂，需要较强的思维逻辑能力，属于难题．