Question

17．设S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11，则S₂₀的值为1240．

Answer 1

分析 由S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），a₂=11，可得a₁=5．
解法1：当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=6（n≥2，n∈N^*），利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
解法2：当n≥2时，由S_n=na_n-3n（n-1）=n（S_n-S_n-1）-3n（n-1），化为$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：由S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），a₂=11，可得a₁=5．
解法1：当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，得a_n=na_n-3n（n-1）-[（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2）]，
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），即a_n-a_n-1=6（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，
∴S₂₀=20×5+$\frac{20×19}{2}$×6=1240．
解法2：当n≥2时，由S_n=na_n-3n（n-1）=n（S_n-S_n-1）-3n（n-1），
可得（n-1）S_n-nS_n-1=3n（n-1），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=3，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项$\frac{{S}_{1}}{1}$=5，公差为3的等差数列，
∴$\frac{{S}_{20}}{20}$=5+3×19=62，
∴S₂₀=1240．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．