Question

18．下列命题中正确命题的个数是（　　）
①对于命题P：存在x∈R，使得x²+x-1＜0，则﹁P：任意x∈R，均有x²+x-1＞0
②命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
③“m=-1”是“直线l₁：mx+（2m-1）y+1=0与直线l₂：3x+my+3=0垂直”的充要条件．

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 ①“存在x∈R”的否定形式为“?x∈R”．
②判断原命题的真假．
③由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m-1）y+1=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m-1）y+1=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．

解答 解：对于①命题P：存在x∈R使得x²+x+1＜0．则﹁P：?x∈R使得x²+x+1≥0．故①错误．
对于②：命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为命题“若sinx≠siny”，则“x≠y”，②正确．
对于③：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=-1，此时两直线垂直．
当2m-1=0，即m=$\frac{1}{2}$时，两直线为x=-4与3x+$\frac{1}{2}$y+3=0，此时两直线相交不垂直．
当m≠0且m$≠\frac{1}{2}$时，两直线的斜截式方程为y=$\frac{-m}{2m-1}$x-$\frac{2}{2m-1}$与y=$\frac{3}{m}$．
两直线的斜率为$\frac{-m}{2m-1}$与$\frac{-3}{m}$，
所以由$\frac{-m}{2m-1}$得m=-1，
所以m=-1是两直线垂直的充分不必要条件，故③错．
故选：C

点评 判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断原命题的逆否命题的真假，因为它们是等价命题．另外，否命题和逆命题也是等价命题．