Question

2．已知函数f（x）=lnx+$\frac{2a（x-1）}{x+1}$（a∈R）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数的几何意义可知k=f′（1）=2，f（1）=0，根据点斜式即可求出切线方程．
（2）先求导，设g（x）=x²+2（2a+1）x+1，需要分类讨论，当△=4（2a+1）²-4≤0，当△=4（2a+1）²-4＞0时两种情况，根据导数和函数单调性的关系即可得到．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
∴k=f′（1）=1+1=2，f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4ax}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2（2a+1）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0
设g（x）=x²+2（2a+1）x+1，
当△=4（2a+1）²-4≤0时，即-1≤a≤0时，g（x）≥0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当△=4（2a+1）²-4＞0时，即a＜-1，或a＞0，
①当a＞0时，（x+1）²+4ax＞0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
②当a＜-1时，令f′（x）=0，解得x₁=-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，x₂=-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，
当f′（x）＞0时，即x＞x₁，或x＜x₂，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x₁＜x＜x₂，函数f（x）单调递减，
综上所述，当a≥-1时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当a＜-1时，f（x）在（0，-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$）和（-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，+∞）上为增函数，
在（-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，）上为减函数．

点评 本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，关键是分类讨论，属于中档题．