题目内容

9.已知函数f(x)=Asin3x,x∈R,且f($\frac{5}{12}$π)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=$\frac{3}{2}$,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),求f($\frac{3π}{4}$-θ)

分析 (1)由f($\frac{5}{12}$π)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得到A;
(2)利用(1)的结论,得到关于θ的等式,结合其范围,求出sin3θ,cos3θ,利用三角函数的恒等变形得到所求.

解答 解:(1)因为f($\frac{5}{12}$π)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以Asin(3×$\frac{5}{12}$π)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以A=-1;
(2)由(1)可知f(x)=-sin3x,
所以由f(θ)-f(-θ)=$\frac{3}{2}$,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),得到-sin3θ-sin3θ=$\frac{3}{2}$,即sin3θ=$-\frac{3}{4}$,所以cos3θ=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
所以f($\frac{3π}{4}$-θ)=-sin($\frac{9π}{4}-3θ$)=-sin($\frac{π}{4}-3θ$)=sin(3$θ-\frac{π}{4}$)=sin3θcos$\frac{π}{4}$-cos3θsin$\frac{π}{4}$=$-\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}-3\sqrt{2}}{8}$.

点评 本题考查了三角函数式的化简与求值;关键是熟练运用三角函数公式化简.

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