已知椭圆以坐标原点为中心.坐标轴为对称轴.以抛物线y2=16x的焦点为其中一个焦点.以双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为顶点．(1)求椭圆的标准方程,.B(1.0).且C.D分别为椭圆的上顶点和右顶点.点M是线段CD上的动点.求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y²=16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的最小值；
（3）若E，F是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，则当直线PE，PF的斜率都存在，并记为k_PE，k_PF时，k_PE•k_PF是否为定值，若时求出这个定值，若不是，请说明理由．

分析（1）通过抛物线、双曲线方程，利用各自的定义计算即可；
（2）通过设M（x₀，y₀），可知直线CD的方程，利用二次函数的性质即得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的最小值；
（3）通过设点E（m，n）可得F（-m，-n），设P（x，y），利用斜率的公式计算即可．

解答解：（1）抛物线y²=16x的焦点（4，0），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点（±5，0），
设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴a=5，c=4，∴b²=25-16=9，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设M（x₀，y₀），由题意知直线CD的方程为$\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1$，
即y=-$\frac{3}{5}$x+3（0≤x≤5），
则y₀=-$\frac{3}{5}$x₀+3（0≤x₀≤5），$\overrightarrow{AM}$=（x₀+1，y₀），$\overrightarrow{BM}$=（x₀-1，y₀），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=x₀²+y₀²-1
=x₀²+（-$\frac{3}{5}$x₀+3）²-1
=$\frac{34}{25}$（x₀-$\frac{45}{34}$）²+$\frac{191}{34}$（0≤x₀≤5），
∴当x₀=$\frac{45}{34}$时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$取得最小值为$\frac{191}{34}$；
（3）结论：k_PE•k_PF是定值，且定值为-$\frac{9}{25}$．
理由如下：
设点E的坐标为（m，n），则点F的坐标为（-m，-n）、$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{9}=1$，
又设点P的坐标为（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
由k_PE=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PF=$\frac{y+n}{x+m}$，得：k_PE•k_PF=$\frac{y-n}{x-m}$•$\frac{y+n}{x+m}$=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，
化简得：k_PE•k_PF=$\frac{\frac{9}{25}（{m}^{2}-{x}^{2}）}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$．