题目内容
20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角（用弧度表示）；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，求sinθ和cosθ的值．
分析 （1）利用向量的数量积公式解答；
（2）由向量垂直得到数量积为0，展开整理得到所求．
解答 解：（1）由已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），因为（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0，
所以=（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）（cosθ，sinθ）=0．
所以（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosθ+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）sinθ=0．
整理得cosθ-sinθ=0，所以sinθ=cosθ=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查了利用向量的数量积公式求向量的夹角以及向量垂直，数量积为0．
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如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）．
如图，已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．| A． | 1 | B． | 0 | C． | -1 | D． | 2 |