题目内容

2．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），则不等式f（x）＜2ex的解集为（　　）
A．（-2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）

分析 由f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），取x=1代入，可得f（0）=2．令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可得g′（x）＜0，利用其单调性即可解出．

解答 解：∵f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），
∴f（2）=-f（0）=-2，解得f（0）=2．
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，
∵$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜2=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴x＞0，
∴不等式f（x）＜2ex的解集为（0，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77    35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 85   23 45 78 89 07    23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32    45 77 89 23 45．
A．607B．328C．253D．007
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