题目内容
18.已知函数$f(x)=-aln\frac{1}{x}-b{x^2}$图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2..(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)+m=0在$[\frac{1}{e},e]$内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底,e≈2.7).
分析 (1)根据函数切线建立方程关系即可求a,b的值;
(2)构造方程,求函数的导数,利用导数进行求解即可.
解答 解(Ⅰ)f′(x)=$\frac{a}{x}$-2bx,f′(2)=$\frac{a}{2}$-4b,f(2)=aln2-4b.
∵点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2..
∴$\frac{a}{2}$-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2.
解得a=2,b=1.
(Ⅱ)f(x)=2lnx-x2,
令h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,
则h′(x)=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2(1-{x}^{2})}{x}$,
令h′(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
在$[\frac{1}{e},e]$内,当x∈[$\frac{1}{e}$,1)时,h′(x)>0,∴h(x)是增函数;
当x∈(1,e]时,h′(x)<0,∴h(x)是减函数.
则方程h(x)=0在[$\frac{1}{e}$,e]内有两个不等实根的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{h(\frac{1}{e})≤0}\\{h(1)>0}\\{h(e)≤0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{-2-(\frac{1}{e})^{2}+m≤0}\\{m-1>0}\\{2-{e}^{2}+m≤0}\end{array}\right.$,解得1<m≤2+($\frac{1}{e}$)2.
点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数与方程之间的关系,考查学生的运算能力.
练习册系列答案
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13.甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如图,则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是( )
A. | 甲、甲 | B. | 乙、甲 | C. | 甲、乙 | D. | 乙、乙 |
7.函数f(x)为奇函数且f(3x+1)的周期为3,f(1)=-1,则f(2015)=( )
A. | 1 | B. | 0 | C. | -1 | D. | 2 |
8.函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(sin2xcos$\frac{π}{4}$-cos2xsin$\frac{π}{4}$)的单调递减区间是( )
A. | (kπ+$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{5π}{8}$),k∈Z | B. | (kπ+$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{3π}{8}$),k∈Z | ||
C. | (kπ-$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{3π}{8}$),k∈Z | D. | (kπ+$\frac{3π}{8}$,kπ+$\frac{5π}{8}$),k∈Z |