题目内容
14．
已知E、F是x轴上的点，坐标原点O为线段EF的中点，|$\overrightarrow{FG}|=10，|\overrightarrow{EF}$|=6，G，P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，EG的中点为H，且$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{EG}$=0．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点E（-3，0）且与轨迹C交于A，B两点，M为AB的中点，求△OEM面积的最大值．
分析 （Ⅰ）取EG的中点为H，说明PH是线段EG的垂直平分线，得到PE|=|PG|，判断P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求解即可．
（Ⅱ）推出A，B，E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出M点的纵坐标表示出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解△OEM的面积最大．
解答 解：（Ⅰ）取EG的中点为H，则$\overrightarrow{PE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{PH}$，∵$（\overrightarrow{PE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}）•\overrightarrow{EG}=0$，∴$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{EG}=0$，
∴PH⊥GE，∴PH是线段EG的垂直平分线，…（2分）
∴|PE|=|PG|，∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，…（4分）
则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b2=a2-c2=16，
∴$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．…（6分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OE}=α\overrightarrow{OA}+（1-α）\overrightarrow{OB}=α\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-α\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OB}=α（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，∴$\overrightarrow{BE}=α\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，E三点共线，…（8分）．
∵E（-3，0），
设AB所在直线方程为x=my-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my-3\\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.$，整理得（16m2+25）y2-96my-256=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{96m}{{16{m^2}+25}}$，
∴M点的纵坐标为${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$=$\frac{48m}{{16{m^2}+25}}$，…（11分）
∴${S_{△OEM}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OE}}||{y_M}|=\frac{1}{2}×3×$$\frac{48|m|}{{16{m^2}+25}}$=$\frac{72|m|}{{16{m^2}+25}}=\frac{72}{{16|m|+\frac{25}{|m|}}}≤\frac{9}{5}$，
∴当$16|m|=\frac{25}{|m|}$，即$m=±\frac{5}{4}$时，△OEM的面积最大为$\frac{9}{5}$．…（13分）
点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，轨迹方程的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．考查函数与方程的思想的应用．
如图，已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．
2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．