题目内容
14．
船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．
分析 以两根桅杆的顶端A，C所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，求出椭圆的方程，然后求解P到桅杆AB的距离．
解答 
解：以两根桅杆的顶端A，C所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，…（2分）
则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的方程为$\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{200}=1$，…（8分）
因为P点纵坐标为-5，代入椭圆方程可解得$P（{-\frac{{15\sqrt{14}}}{4}，-5}）$…（12分）
所以P到桅杆AB的距离为$\frac{{15\sqrt{14}}}{4}-5$m．…（14分）
答：绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为$\frac{{15\sqrt{14}}}{4}-5$m．…（16分）
点评 本题考查椭圆的标准方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD，DA上的点．且满足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{FB}$=$\frac{CG}{GD}$=2．