Question

4．已知定义域为R的函数f（x）满足对任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则解关于x的不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0的解集为（0，4）．

Answer 1

分析 可令x=y=0，求得f（0）=0，再由y=-x，可得f（x）为奇函数，由单调性的定义，可得f（x）为增函数，不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0，即为f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞f（0），即$\sqrt{x}$＞log₂x，画出函数的图象即可得到解集．

解答 解：由f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（x）为奇函数，
令m＜n，即n-m＞0，
由当x＞0时，f（x）＞0，可得f（n-m）＞0，
即为f（n）+f（-m）＞0，即f（n）-f（m）＞0，
则f（x）为R上的增函数；
不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0，即为f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞f（0），
即有$\sqrt{x}$-log₂x＞0，即$\sqrt{x}$＞log₂x，
作出函数y=log₂x，y=$\sqrt{x}$的图象，可得交点为（4，2），
可得不等式的解集为（0，4）．
故答案为：（0，4）．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，注意运用图象，属于中档题．