Question

2．设x＞0，y＞0，x+$\frac{1}{x}$+$\frac{y}{2}$+$\frac{8}{y}$=10．则2x+y的最大值为18．

Answer 1

分析 变形利用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：设2x+y=t（t＞0），
x+$\frac{1}{x}$+$\frac{y}{2}$+$\frac{8}{y}$=10即为$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{y}$=10-$\frac{1}{2}$t，
即有t（10-$\frac{1}{2}$t）=（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$+$\frac{16x}{y}$
≥10+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{16x}{y}}$=18，
当且仅当y=4x，即x=3，y=12取得等号．
由t（10-$\frac{1}{2}$t）≥18，解得2≤t≤18．
可得2x+y的最大值为18．
故答案为：18．

点评 本题考查了用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，注意式子变形的运用，属于中档题．