Question

5．若定义域为D的函数f（x）满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称函数f（x）为“半值函数”．
已知函h（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 根据指数函数和对数函数的图象和性质以及复合函数的单调性可知h（x）都是R上的增函数，再根据“半值函数”的定义得到log_c（c^x+t）=$\frac{x}{2}$，构造关于m的方程，根据根与系数的关系，即可得到结论．

解答 解：∵h（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1），c＞1或0＜c＜1，h（x）都是R上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（a）=\frac{a}{2}}\\{h（b）=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，即log_c（c^x+t）=$\frac{x}{2}$，即c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$有两不等实根，
令${c}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0）
∴t=m-m²有两不等正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=t＞0}\\{△=1-4t＞0}\end{array}\right.$
解得0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了新定义，以及对数函数指数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根的问题，属于中档题．