Question

15．设函数f（x）=$\frac{k}{2}{x^2}$-2x+klnx，k＞0．
（1）当0＜k＜1时，求函数f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的极值点；
（2）当k=2时，设[a，b]⊆[1，2]．证明：存在唯一的ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）求导，f'（x）=0求出极值点，继而求出极值．
（2）对函数f（x）二次求导，构造新的函数，对新函数求导得到新函数的单调性，继而证明．

解答 解：（1）$f'（x）=kx-2+\frac{k}{x}$=$\frac{{k{x^2}-2x+k}}{x}$…（1分）
记△=4-4k²，
当0＜k＜1时，△＞0，解方程kx²-2x+k=0．得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$且x₁＜x₂，…（2分）
令g（x）=kx²-2x+k．由$g（\frac{1}{2}）=\frac{5k}{4}-1，g（2）=5k-4$结合函数g（x）的图象可知，
当$\frac{4}{5}＜k＜1$时，$\frac{1}{2}＜{x_1}＜{x_2}＜2$，且当$x∈（{\frac{1}{2}，{x_1}}）∪（{{x_2}，2}）$时，f'（x）＞0．
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0．所以函数f（x）在$（{\frac{1}{2}，{x_1}}）$，（x₂，2）单调递增，在（x₁，x₂）单调递减，
因此函数f（x）的极大值点为${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$极小值点为${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$…（4分）
当$0＜k≤\frac{4}{5}$时，f'（x）＜0对于$\frac{1}{2}＜x＜2$恒成立，所以f（x）在$（{\frac{1}{2}，2}）$单调递减，函数f（x）不存在极值点．…（5分）
综上得知，当$0＜k≤\frac{4}{5}$时，f（x）不存在极值点；当$\frac{4}{5}＜k＜1$时，f（x）的极大值点为${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$极小值点为${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-{k^2}}}}{k}$．…（6分）
（2）证明：当k=2时，f（x）=x²-2x+2lnx，$f'（x）=2（{x+\frac{1}{x}-1}）$…（7分）
令$h（x）=f'（x）=2（{x+\frac{1}{x}-1}）$，x∈[1，2]．
则有$h'（x）=f''（x）=2（{1-\frac{1}{x^2}}）≥0$，所以h（x）在[1，2]单调递增，而[a，b]⊆[1，2]，所以h（x）在[a，b]也单调递增，故只需证明$h（a）＜\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜h（b）$．
化简得$a-b+\frac{2}{a}＜2•\frac{lnb-lna}{b-a}＜b-a+\frac{2}{b}$．…（9分）
先证$2•\frac{lnb-lna}{b-a}＜b-a+\frac{2}{a}$令b=a+t，1≤a＜a+t≤2，
则只需证$2ln（1+\frac{t}{a}）＜\frac{2t}{a+t}+{t^2}$，
令$p（t）=\frac{2t}{a+t}+{t^2}-2ln（1+\frac{t}{a}）$，1≤a＜a+t≤2，则$p'（t）=\frac{{2t[{{（a+t）}^2}-1]}}{{{{（a+t）}^2}}}＞0$，所以p（t）在（0，1）单调递增，于是p（t）＞p（0）=0，即$2ln（1+\frac{t}{a}）＜\frac{2t}{a+t}+{t^2}$成立，
∴$2•\frac{lnb-lna}{b-a}＜b-a+\frac{2}{a}$成立…（11分）
再证$a-b+\frac{2}{a}＜2•\frac{lnb-lna}{b-a}$令b=a+t，1≤a＜a+t≤2，
则只需证$-{t^2}+\frac{2t}{a}＜2ln（1+\frac{t}{a}）$，
令$q（t）=2ln（1+\frac{t}{a}）+{t^2}-\frac{2t}{a}$，1≤a＜a+t≤2，则$q'（t）=\frac{2t[a（a+t）-1]}{a（a+t）}＞0$，所以q（t）在（0，1）单调递增，于是q（t）＞q（0）=0，即$-{t^2}+\frac{2t}{a}＜2ln（1+\frac{t}{a}）$成立，
∴$a-b+\frac{2}{a}＜2•\frac{lnb-lna}{b-a}$成立…（13分）
综上可知，存在唯一的ξ∈（a，b），使得$h（ξ）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．
即$f'（ξ）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．…（14分）

点评 本题主要考查利用函数的导数求函数的极值点和利用函数导数证明等式成立．属高考常考题型，难度较大．