题目内容
14．
如图，点C是圆O的直径BE的延长线上一点，AC是圆O的切线，A是切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F．（1）求∠ADF的值；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．
分析 （1）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．
（2）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，于是$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{AB}$=tan30°．
解答 解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{AB}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．
练习册系列答案
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4．
将棱长为1的正方体截去若干个角后，得到某几何体的三视图，如图所示，它们都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）
将棱长为1的正方体截去若干个角后，得到某几何体的三视图，如图所示，它们都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |
5．若定义域为D的函数f（x）满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称函数f（x）为“半值函数”．
已知函h（x）=logc（cx+t）（c＞0，c≠1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（ ）
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称函数f（x）为“半值函数”．
已知函h（x）=logc（cx+t）（c＞0，c≠1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（ ）
| A． | （0，+∞） | B． | （-∞，$\frac{1}{4}$） | C． | （$\frac{1}{4}$，+∞） | D． | （0，$\frac{1}{4}$） |
19．设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\sqrt{5}$+1 |
6．一简单多面体的三视图如图所示，则该简单多面体的体积为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{{3+\sqrt{2}}}{6}$ | C． | $\frac{{5+\sqrt{2}}}{6}$ | D． | $\frac{7}{6}$ |
若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D-BCE的体积为$\frac{8}{3}$．