题目内容

15.设函数f(x)=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|(a>0)
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(2)<3,求实数a的取值范围.

分析 (1)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)≥|a|+|$\frac{1}{a}$|,再利用基本不等式证得|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2,从而证得结论.
(2)f(2)<3,即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|<3,再分类讨论求得a的范围,综合可得结论.

解答 解:(1)证明:∵f(x)=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|≥|(x+$\frac{1}{a}$)-(x-a)|=|a+$\frac{1}{a}$|=|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2,
故f(x)≥2 成立.
(2)f(2)<3,即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|<3,
当a>1 时,可得2+$\frac{1}{a}$+|a-2|<3,即|a-2|<1-$\frac{1}{a}$,即$\frac{1}{a}$-1<a-2<1-$\frac{1}{a}$,可得$\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a-\frac{1}{a}>1}\\{a+\frac{1}{a}<3}\end{array}\right.$,
求得 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$<a<$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

a=1 时,可得|2+1|+|2-1|<3不成立,故a≠1.
0<a<1时,可得 2+$\frac{1}{a}$+2-a<3,即 a-$\frac{1}{a}$>1,即 $\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{a-\frac{1}{a}>1}\end{array}\right.$,求得a∈∅.
综上可得,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$<a<$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

点评 本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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