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7.求抛物线y2=12x上的点到直线4x+3y+46=0的最短距离.

分析 根据过P点作直线4x+3y+46=0平行线,与抛物线y2=12x相切,判断此时P点到直线的距离最近,利用判别式为0,求出b,利用平行线距离求解即可.

解答 解:过P点作直线4x+3y+46=0平行线,与抛物线y2=12x相切,
可以判断此时P点到直线的距离最近,
过P点作直线4x+3y+b=0,
故点P到直线4x+3y+46=0的最短距离.
可得$\left\{\begin{array}{l}4x+3y+b=0\\{y}^{2}=12x\end{array}\right.$,
∴y2+9y+3b=0,
△=81-12b=0,
解得b=$\frac{27}{4}$,
抛物线y2=12x上的点到直线4x+3y+46=0的最短距离:$\frac{|46-\frac{27}{4}|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{157}{20}$.

点评 本题考查了直线与曲线的位置关系,借助导数判断最值即可,关键求解平行线的距离,难度不大,有点综合.

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