Question

10．设x∈（2，4），且$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$+4a≥0恒成立，则a的取值范围是[-1，9]．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{{a}^{2}}{2}$-4a≤$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，4）恒成立，运用乘1法，可得$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$=$\frac{1}{2}$[（4-x）+（x-2）]（$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$），展开运用基本不等式，即可得到最小值，由恒成立思想可得二次不等式，解得即可得到a的范围．

解答 解：设x∈（2，4），且$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$+4a≥0恒成立，
则$\frac{{a}^{2}}{2}$-4a≤$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，4）恒成立．
由$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$=$\frac{1}{2}$[（4-x）+（x-2）]（$\frac{1}{4-x}$+$\frac{4}{x-2}$）
=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{x-2}{4-x}$+$\frac{4（4-x）}{x-2}$]≥$\frac{1}{2}$[5+2$\sqrt{\frac{x-2}{4-x}•\frac{4（4-x）}{x-2}}$]=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{x-2}{4-x}$=$\frac{4（4-x）}{x-2}$，即x=$\frac{10}{3}$时，取得最小值$\frac{9}{2}$．
即有$\frac{{a}^{2}}{2}$-4a≤$\frac{9}{2}$，
解得-1≤a≤9．
故答案为：[-1，9]．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查基本不等式的运用，注意乘1法，考查运算能力，属于中档题．