题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)令,求函数
的极值;
(3)若,正实数
满足
,证明:
.
【答案】(1)(2)当
时,函数
无极值;当
时,函数
有极大值
,无极小值(3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率,所以先求导数得
,即
,又
,再根据点斜式得切线方程
(2)先求导数
,再分类讨论导函数在定义区间上符号变化规律,确定极值取法:当
时,
,函数
无极值点.当
时,一个零点
,导函数在其左右符号变化,先增后减,所以
有极大值,无极小值
(3)先化简为
,转化为关于
函数关系式:
,研究函数
,其中
,得
,因此
,解不等式得
试题解析:(1)当时,
,则
,所以切点为
,
又,则切线斜率
,
故切线方程为,即
................3分
(2),
则,......................4分
当时,∵
,∴
.
∴在
上是递增函数,函数
无极值点..................5分
当时,
,令
得
,
∴当时,
;当
时,
,
因此在
上是增函数,在
上是减函数,............................7分
∴时,
有极大值
,
综上,当时,函数
无极值;
当时,函数
有极大值
,无极小值............................... 8分
(3)证明:当时,
,
由,即
,
从而,
令,则由
得:
,
可知,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴,∴
,
∵,∴
.....................12分
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