Question

【题目】已知关于的二次函数.

（1）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；

（2）设点是区域内的随机点，记事件“函数有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1”为事件，求事件发生的概率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）基本事件的总数有种，要函数在给定区间上单调递增，则需开口向上，且对称轴要小于或等于，由此得到的大小关系，并通过列举得出符合题意的事件总数，利用古典概型计算公式计算得到概率.（2）“函数有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1”，由于函数开口向上，故只需，画出可行域及符合题意的范围，利用面积比得到所求的概率.

试题解析：

（1）记“函数在区间上是增函数”为事件．

若使事件发生，由于，则只需使得，即．

所以，事件包含的基本事件分别为，共5个；

所有基本事件共个．

由古典概型的概率计算公式得， ，

综上，函数在区间上是增函数的概率为；

（2）若使事件发生，由于，所以只需，

所有结果构成的平面区域为，事件包含的结果构成的平面区域为，

如图所示：

由几何概型的概率计算公式得， ．